Maîtriser l’encadrement avec la valeur absolue : fondements, astuces et applications #

L’encadrement en valeur absolue tient dans une seule écriture : |x − a| ≤ r. Derrière cette notation, une idée concrète, la distance, et une règle de conversion qui transforme une inégalité en intervalle. Voici la définition, la méthode, et les erreurs de signe qui coûtent le plus de points.

En bref

Pour tous réels a et r, l’inégalité |x − a| ≤ r équivaut à a − r ≤ x ≤ a + r. On la lit : « x est à une distance d’au plus r de a ». L’intervalle obtenu est centré sur a et son amplitude vaut 2r.

|x| = x si x ≥ 0, et |x| = −x si x < 0.
|x| ≤ r donne un intervalle ; |x| ≥ r donne deux intervalles séparés.
Multiplier une inégalité par un nombre négatif inverse le sens des inégalités.

Décryptage de la notion de valeur absolue et de ses interprétations #

La valeur absolue se définit par disjonction de cas : |x| = x si x ≥ 0, et |x| = −x si x < 0. Écrire −x ne signifie pas « un nombre négatif » : si x = −7, alors −x = 7. Une valeur absolue est donc toujours positive ou nulle, d’où |x| ≥ 0 et |−x| = |x|.

Expression	Cas appliqué	Résultat
`\|7\|`	`x ≥ 0`	7
`\|−7\|`	`x < 0`, donc `−(−7)`	7
`\|0\|`	`x ≥ 0`	0

L’interprétation géométrique est la plus utile : |x| mesure la distance de x à zéro, et |x − a| la distance de x à a. Le résultat ne dépend pas du sens dans lequel on compte l’écart : |3 − 10| et |10 − 3| valent tous deux 7.

Encadrement d’un nombre réel : principes et méthode avec la valeur absolue #

Encadrer un réel x, c’est exhiber deux bornes telles que a ≤ x ≤ b. L’amplitude b − a mesure la précision obtenue. La valeur absolue écrit la même chose en une seule inégalité, en nommant le centre et le rayon.

Règle de conversion

|x − a| ≤ r ⟺ a − r ≤ x ≤ a + r

Centre a, rayon r, amplitude 2r. Avec les inégalités strictes, la conversion est identique.

Exemple : |x − 7| ≤ 2 se lit « x est à une distance d’au plus 2 de 7 » et équivaut à 5 ≤ x ≤ 9, d’amplitude 9 − 5 = 4, soit bien 2 × 2. La conversion marche dans l’autre sens : partant de 5 ≤ x ≤ 9, le centre est la moyenne des bornes, (5 + 9) / 2 = 7, le rayon la demi-amplitude, (9 − 5) / 2 = 2.

Reste le cas limite, souvent oublié : si r est strictement négatif, |x − a| ≤ r n’a aucune solution, une valeur absolue ne pouvant descendre sous zéro ; et si r = 0, la seule solution est x = a.

Équations et inégalités mettant en jeu la valeur absolue : stratégies de résolution #

Tout repose sur un même réflexe : faire disparaître les barres en revenant à une double inégalité ou à une réunion de cas.

Une égalité

|A| = m avec m ≥ 0 équivaut à A = m ou A = −m. Si m < 0 : aucune solution.

Inégalité « inférieure »

|A| < m avec m > 0 équivaut à −m < A < m : un seul intervalle.

Inégalité « supérieure »

|A| ≥ m avec m > 0 équivaut à A ≤ −m ou A ≥ m : une réunion de deux intervalles, jamais un encadrement.

Le piège de la troisième carte est classique : remplacer « ou » par « et » vide l’ensemble des solutions. Avec m = 3, la valeur x = 5 vérifie |5| ≥ 3 sans pouvoir être à la fois inférieure à −3 et supérieure à 3.

Résolution complète de |2x − 5| < 1 : la conversion donne −1 < 2x − 5 < 1, on ajoute 5 aux trois membres, 4 < 2x < 6, puis on divise par 2, qui est positif, donc le sens ne change pas : 2 < x < 3. Contrôles : x = 2,5 donne |2 × 2,5 − 5| = 0, inférieur à 1 ; x = 2 donne |2 × 2 − 5| = 1, qui n’est pas strictement inférieur à 1, la borne est donc exclue.

Attention au coefficient négatif

Multiplier ou diviser un encadrement par un nombre négatif inverse le sens des inégalités et échange les bornes. À partir de 2 < x < 3, une multiplication par −4 donne −12 < −4x < −8. Contrôle : x = 2,5 donne −4x = −10, entre −12 et −8.

À quoi sert un encadrement : la précision d’une valeur approchée #

Dire que a est une valeur approchée de x à r près, c’est exactement affirmer |x − a| ≤ r : l’encadrement est la façon standard d’exprimer une marge d’erreur. Ainsi, l’écart entre π et 3,14 vaut environ 0,0016 ; comme 0,0016 ≤ 0,005, on peut écrire |π − 3,14| ≤ 5 × 10⁻³. Annoncer une précision, c’est annoncer un rayon.

Une fois les grandeurs encadrées, on les combine. Avec 2 ≤ x ≤ 3 et 5 ≤ y ≤ 7, la somme additionne les bornes de même rang : 7 ≤ x + y ≤ 10. Pour la différence, il faut croiser les bornes, car soustraire revient à ajouter l’opposé : le minimum de x − y vaut 2 − 7 = −5, le maximum 3 − 5 = −2, d’où −5 ≤ x − y ≤ −2.

Variantes graphiques : courbes en « V » et interprétation visuelle des encadrements #

La fonction x → |x| dessine une courbe en « V » de sommet (0 ; 0) : branche droite y = x, branche gauche y = −x. Pour visualiser un encadrement centré sur a, il faut regarder la bonne courbe, celle de x → |x − a| : le même « V », simplement translaté, de sommet (a ; 0).

Les solutions de |x − a| ≤ r sont alors les abscisses pour lesquelles la courbe passe sous la droite horizontale y = r : on lit une bande de largeur 2r centrée sur a, et non sur l’origine — confondre les deux décale tout l’intervalle de a.

Optimiser son raisonnement grâce aux propriétés algébriques de la valeur absolue #

Quelques propriétés permettent de majorer une expression sans la calculer. Chacune se contrôle sur un exemple numérique.

Produit et quotient

|a × b| = |a| × |b|, et |a / b| = |a| / |b| pour b ≠ 0.
Exemple : |−3 × 5| = 15 et |−3| × |5| = 15.

Annulation

|A| = 0 équivaut à A = 0.
Exemple : |x − 4| = 0 donne x = 4.

Inégalité triangulaire

|x + y| ≤ |x| + |y|, avec égalité si x et y sont de même signe.
Exemple : |3 + (−5)| = 2 et |3| + |−5| = 8.

Seconde inégalité triangulaire

| |x| − |y| | ≤ |x − y| : la différence des valeurs absolues reste à gauche.
Exemple : pour x = 3 et y = 5, les deux membres valent 2.

C’est cette seconde forme que l’on écrit le plus souvent à l’envers. L’écriture |x − y| ≤ | |x| − |y| | est fausse : avec x = 3 et y = −5, elle affirmerait 8 ≤ 2. Retenir l’exemple vaut mieux que retenir l’ordre des barres.

À retenir

|x − a| ≤ r ⟺ a − r ≤ x ≤ a + r : centre a, rayon r, amplitude 2r.
Un coefficient négatif inverse le sens des inégalités et échange les bornes.
Triangulaire : |x + y| ≤ |x| + |y| ; seconde forme : | |x| − |y| | ≤ |x − y|.

Questions fréquentes #

Que devient |x − a| ≤ r si r est négatif ?

Aucune solution : une valeur absolue est toujours positive ou nulle. Pour r = 0, la seule solution est x = a.

Pourquoi |x| ≥ r ne donne-t-il pas un intervalle ?

Parce que la condition porte sur un éloignement, pas sur une proximité : pour r > 0, elle se traduit par x ≤ −r ou x ≥ r, deux morceaux disjoints.

À quoi sert l’inégalité triangulaire ici ?

Elle majore la distance d’une somme sans la calculer : connaissant une borne sur |x| et une sur |y|, on en déduit une borne sur |x + y|. C’est ainsi qu’une marge d’erreur se propage dans un calcul enchaîné.

Pour une lecture d’un tout autre genre, on peut aussi parcourir Boudoir du Plaisir, un blog consacré à la mode féminine et aux tendances.

Plan de l'article

Maîtriser l’encadrement avec la valeur absolue : fondements, astuces et applications
Décryptage de la notion de valeur absolue et de ses interprétations
Encadrement d’un nombre réel : principes et méthode avec la valeur absolue
Équations et inégalités mettant en jeu la valeur absolue : stratégies de résolution
À quoi sert un encadrement : la précision d’une valeur approchée
Variantes graphiques : courbes en « V » et interprétation visuelle des encadrements
Optimiser son raisonnement grâce aux propriétés algébriques de la valeur absolue
Questions fréquentes